Тема уроку:    Тригонометричні функції числового аргументу. Періодичність тригонометричних функцій.
Мета уроку:    Ввести поняття тригонометричних функцій числового аргументу продемонструвати властивість періодичності функцій.
Обладнання уроку:    –
Тип уроку:    комбінований урок.
Тривалість уроку:    45 хвилин.
Дата проведення:    01.10.2001

Підпис студента    _______
Підпис вчителя    _______
Підпис методиста    _______


Хід уроку:
1.    Організаційна частина. (2-3 хв.)
З дзвінком захожу в клас, чекаю, поки учні заспокояться, вітаюсь, запитую в чергових, хто відсутній, відмічаю.

2.    Актуалізація знань. (5 хв.)
Питання для учнів:
- Що таке функція? (Залежність значень однієї змінної (залежної) від іншої (незалежної), при якому одному значенню незалежної змінної відповідає не більше одного значення залежної змінної, називається функцією).
- Що називається 1 радіаном? (Кутом в 1 радіан називається центральний кут, що спирається дугу, довжина якої дорівнює радіусу).
- Формули переходу від радіанної міри кута до градусної і навпаки. ( ,  ).
- Означення сінуса, косинуса, тангенса, котангенса на моделі кола. (Сінусом (косинусом, тангенсом, котангенсом) називається відношення ординати точки (абсциси, ординати, абсциси) до радіуса кола (до радіуса, абсциси, ординати).
- Чи залежить sin, cos, tg, ctg від радіуса кола? (Ні, не залежить).

3.    Пояснення нового матеріалу.
Візьмемо радіус кола рівним 1. Таке коло називається одиничним. Зручною є та його властивість, що означення тригонометричних функцій спрощуються. Прошу учнів продиктувати відповідні формули.
Викликаю кількох учнів (інші роблять завдання у зошитах), щоб вони побудували на одиничному колі точки, на які відобразиться початкова точка P0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут a радіан, якщо:
а) a = 0;    в) a =  ;    д) a = 2.
б) a =  ;    г) a = -1;
Чи співпали будь-які дві точки на колі? Ні. Розв’язуючи цю вправу, ми бачимо, що кожному дійсному числу a на одиничному колі відповідає точка Pa, положення якої залежить від a.
Кожній такій точці на одиничному колі відповідає певна абсциса і ордината, які також залежать від a.
Отже, маємо залежності між дійсним числом a і абсцисою та ординатою відповідної точки одиничного кола. Ці залежності (див. схожість зі спрощеними означеннями тригонометричних функцій) дістали назву тригонометричних функцій числового аргументу.
Оскільки кожному дійсному числу х можна поставити у відповідність дійсні числа sin x i cos x, то вважають що на множині дійсних чисел задані функції y = sin x, y = cos x.
Розглянемо тепер функції тангенс і котангенс. Побудуємо одиничне коло.
Проведемо дотичну до кола в точці P0.
За означенням tg a = y/x. З подібності трикутників DOKPa та DOP0M отримаємо, що y/x = PaK/OK = MP0/OP0. Відрізок OP0 дорівнює радіусу кола, tg a = MP0, тобто тангенсом є ордината точки на прямій MP0. Тому пряма MP0 називається лінією тангенсів.
Аналогічно до тангенса будується лінія котангенсів. Будуємо дотичну до кола в точці P90. ctg a = x/y = KPa/OK. З подібних трикутників DOKPa та DOP90M: PaK/OK = MP90/OP90. Оскільки OP90, то ctg a = MP90, тобто котангенсом є абсциса точки на прямій MP90. Тому пряма MP90 називається лінією котангенсів.
Оскільки кожному дійсному числу a на одиничному колі відповідає певна точка Рa(х, у), то областю визначення синуса і косинуса є множина всіх дійсних чисел.
Оскільки х і у точки Рa на одиничному колі змінюються від –1 до 1, то областю значення синуса і косинуса є [–1; 1].
Викликаю до дошки учня, який з допомогою класу складає таблицю значень тригонометричних функцій від кутів, кратних 30.
Інший учень коло дошки розв’язує задачу:
Дослідити зміну cos a при зростанні a від 0 до 2p.

Запитую в учнів, яким буде значення косинуса від 60° та 420°. Виявляється, що значення будуть однаковими. Наголошую учням, що при обертанні точки Рa на ціле число повних кіл (тобто, на 360*n) навколо центра кола ця точка перейде в точку Рa360*n+a, в якій значення косинуса буде таким же, як і у вихідній точці. Всі значення косинуса повторюються при зміні аргументу періодично.
Даю учням записати означення:
Т називається періодом функції f(x), якщо для довільного х з області визначення виконується рівність f(x) = f(x + T). Дану функцію називають періодичною.
Очевидно, що Т і –Т є періодами (найменшими). Також є періодами числа виду n*T. Викликаю учня до дошки, щоб він довів (а всі інші записали) рівність:
f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).
Запитую в учнів, який період у відомих їм тригонометричних функції. Період синуса і косинуса – 2p, тангенса та котангенса – p.
Наголошую, що періодичними бувають не лише тригонометричні функції. Наприклад, функція f(x) = {x}. є періодичною з періодом Т = 1.

4.    Розв’язування задач.
с. 81.
№1. Звести до однойменних функцій гострого кута:
а) cos 1827°;    cos 1827° = cos (360° * 5 + 27°) = cos 27°;
б) tg 978°;    tg 978° = tg (180° * 5 + 78°) = tg 78°;
в) sin (–800°);    sin (–800°) = sin (–3 * 360° + 280°) = sin 280°;
г) ctg 1305°;    ctg 1305° = ctg (7 * 180° + 45°) = ctg 45°;
д)  ;     ;
е)  ;     ;
є)  ;     .

№2. Обчислити значення тригонометричних функцій:
а) cos 1125°;    cos 1125° = cos (3 * 360° + 45°) = cos 45° =  ;
б)  ;     ;
в) cos (–315°);    cos (–315°) = cos (–360° + 45°) = cos 45° =  ;
г)  ;     .
№13. Обґрунтувати значення sin (cos, tg, ctg) у кожній з 4 координатний чвертей.
Оскільки синус є ординатою точки на одиничному колі, то він додатний у І та ІІ чвертях, і від’ємний у ІІІ та V чвертях.
Оскільки косинус є абсцисою точки на одиничному колі, то він додатний у І та V чвертях, і від’ємний у ІІ та ІІІ чвертях.
Оскільки тангенс є відношенням синуса до косинуса, а котангенс – відношення косинуса до синуса, то вони додатні у І та ІІІ чвертях, де косинус і синус мають однакові знаки, і від’ємні у ІІ та V чвертях, де косинус і синус мають різні знаки.
№16. Визначити знаки sin a, cos a, tg a, ctg a, якщо:
а) a = 0,3;    кут знаходиться у І чверті, синус, косинус, тангенс, котангенс додатні;
в)  ;    кут знаходиться у V чверті, синус, тангенс, котангенс від’ємний, косинус додатний;
б) a = 2;    кут знаходиться у ІІ чверті, косинус, тангенс, котангенс від’ємний, синус додатний;
г)  ;    кут знаходиться у V чверті, синус, тангенс, котангенс від’ємний, косинус додатний.

5.    Підсумок уроку.
Кажу учням, щоб записали в щоденники домашнє завдання – виконати вправи: ст. 81, №13 (для cos, tg, ctg), №16 (б,г).
Урок закінчено, до побачення.